Question

已知椭圆 经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？
若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，
试证明：直线过定点．

Answer 1

（1）
（2）存在，
（3）详见解析

解：（1）由题意，得： 
所以 ， 解，得 ，所以椭圆的方程为： ；
（2）设直线 的方程为： ，代入，得：
 
 恒成立.
设线段的中点为 ，
则 ，
由 得： ，
所以直线 为直线 的垂直平分线，
直线的方程为： ，
令 得：点的横坐标，
因为， 所以，所以.
所以线段 上存在点 使得，其中.
证明：设直线 的方程为：，代入，得：
，
由，得： ，
设 ，则
 ，
则直线的方程为 ，
令 得： 
 ，
所以直线 过定点 .