Question

已知函数f（x）=log₃x，g（x）=x²-2x-3．
（1）令F（x）=f（g（x）），求F（x）的单调递减区间；
（2）令G（x）=g（f（x）），x∈[

1

3

，9]，求函数G（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，F（x）=log3(x2-2x-3)，令 x²-2x-3＞0，求得函数F（x）的定义域．本题即求g（x）在定义域上的减区间，结合二次函数g（x）的图象，可得g（x）在定义域上的减区间．
（2）由题意可得 G（x）=(log3x)2-2log₃x-3，由 x∈[

1

3

，9]，∴-1≤log₃x≤2．令t=log₃x，则-1≤t≤2，G（x）=t²-2t-3=（t-1）²-4，
再利用二次函数的性质求得G（x）的值域．

解答：解：（1）由题意可得，F（x）=f（g（x））=log₃g（x）=log3(x2-2x-3)．
∴x²-2x-3＞0，解得 x＜-1，或 x＞3，
故函数F（x）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故本题即求g（x）在定义域（-∞，-1）∪（3，+∞）上的减区间．
结合二次函数g（x）的图象，可得g（x）在定义域（-∞，-1）∪（3，+∞）上的减区间为（-∞，-1）．
（2）由题意可得 G（x）=g（f（x））=(log3x)2-2log₃x-3，
∵x∈[

1

3

，9]，
∴-1≤log₃x≤2．
令t=log₃x，则-1≤t≤2，G（x）=t²-2t-3=（t-1）²-4，
故当t=1时，函数G（x）取得最小值为-4，当t=-1时，函数G（x）取得最大值为 0，
故G（x）的值域为[-4，0]．

点评：本题主要考查求函数的解析式，复合函数的单调性，二次函数的性质应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．