Question

【题目】已知抛物线 ，焦点到准线的距离为4，过点 的直线交抛物线于 两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）如果点 恰是线段 的中点，求直线 的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）依题意得 ，抛物线方程为 ；

（Ⅱ）解：由题设可知直线 的斜率存在，

设直线 的方程为 ， ，

由 ，消去 ，得 ，

易知 ， ，

又 所以 ，

所以直线 的方程是 ，即

【解析】(1)根据题意结合抛物线的几何意义求出p的值进而得到抛物线的方程。(2)设出直线的方程和抛物线的方程联立消去x得到关于k的方程，因为有两个交点故判别式大于等于零，再借助韦达定理求出 y1 + y2的代数式利用中点的坐标公式求出k的值，进而得到直线的方程即可。