Question

已知数列{a_n}满足：．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：；
（Ⅲ）若，设数列{c_n}前n项和为T_n，求证：对n∈N^*，恒有．

Answer 1

解：（Ⅰ） ，，…
n≥2时，．
将上面n-1个等式相加，得，
得（n≥2）．n≥2时，（3分）
又n=1时，∴对n∈N^*，恒有．（4分）
（Ⅱ）．
．
又，
所以要证明，只需证明，
即证明tⁿ⁺¹-（t-1）n-t＞0．（6分）
下面证明：tⁿ⁺¹-（t-1）n-t＞0．
（方法一）数学归纳法：
证明：①当n=1时，∵t≥2，∴t²-2t+1=（t-1）²＞0，命题成立．
②假设当n=k时，命题成立，即t^k+1-（t-1）k-t＞0，
那么当n=k+1时，∵t^k+1-（t-1）k-t＞0，∴t^k+2-（t²-t）k-t²＞0
∴t^k+2-（t-1）（k+1）-t＞（t²-t）k+t²-（t-1）（k+1）-t=（t-1）²k+（t-1）²＞0，命题也成立．
综上所述对于n∈N^•，命题都成立，
∴tⁿ⁺¹-（t-1）n-t＞0，
∴．…（8分）
（方法二）∵n≥1，∴n+1≥2，
∴tⁿ⁺¹=[1+（t-1）]ⁿ⁺¹=C_n+1⁰+C_n+1¹（t-1）+C_n+1²（t-1）²+…+C_n+1ⁿ⁺¹（t-1）ⁿ⁺¹＞C_n+1⁰+C_n+1¹（t-1）
=1+（n+1）（t-1）
=（t-1）n+t．
∴tⁿ⁺¹-（t-1）n-t＞0，∴．（8分）
（方法三）令f（x）=t^x+1-[（t-1）x+t]（x≥1），
∴f′（x）=t^x+1lnt-t+1＞0，
∴f（x）在（0，+∞）是单调递增函数，
∴对于x≥1，总有f（x）≥f（1）=（t-1）²＞0，
从而对于n∈N^*，tⁿ⁺¹-（t-1）n-t＞0成立，
∴．（8分）
（方法四）要证明，只需证明，只需证明，
只需证明，即只需证明tⁿ＞n+1，构造函数f（x）=t^x-t-1（x≥1），
则 f′（x）=t^xlnt-1＞0，
∴f（x）在[1，+∞）是单调递增函数，∴f（x）≥f（1）=t-2≥0，
∴由以上分析法可知：tⁿ＞n+1，∴．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知b_n=2ⁿ，∴，
∴．（9分）
当n=1时，显然．
当n＞1时，．（10分）
∴
=．（12分）
分析：（Ⅰ）依据条件中的等式，分别令n=1，2，…得到 ，，…n≥2时，．将上面n-1个等式相加，即可得到通项公式；
（Ⅱ）先利用等比数列的求和公式求出Sn，从而得出．又，
所以要证明，只需证明，即证明tⁿ⁺¹-（t-1）n-t＞0．下面证明：tⁿ⁺¹-（t-1）n-t＞0．
（方法一）数学归纳法：证明：①当n=1时，命题成立．②假设当n=k时，命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立．
（方法二）∵n≥1，∴n+1≥2，利用二项式定理tⁿ⁺¹=[1+（t-1）]ⁿ⁺¹进行证明；
（方法三）令f（x）=t^x+1-[（t-1）x+t]（x≥1），利用导数工具研究其单调性，从而得到证明；
（方法四）利用分析法证明：要证明，只需证明，只需证明，只需证明，即只需证明tⁿ＞n+1，最后利用函数的单调性即得．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知b_n=2ⁿ，求得，再结合等比数列的求和公式即可证得结论．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列递推式、数学归纳法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．