Question

已知函数f(x)=log₄(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.

(1)求k的值；

(2)若方程f(x)-m=0有解,求m的取值范围.

Answer 1

解:(1)由函数f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x).∴log₄(4^x+1)+kx=log₄(4^-x+1)-kx.

即log₄=-2kx,log₄4^x=-2kx,∴x=-2kx对一切x∈R恒成立.

∴k=.

(2)由m=f(x)=log₄(4^x+1)x，∴m=log₄=log₄(2^x+).

∵2^x+≥2,

∴m≥.故要使方程f(x)-m=0有解,m的取值范围为m≥.