题目内容

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若x∈[0，1]时，f（x）＜0很成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．
分析：（1）x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．∵x=0，a∈R，∴|x-a|＜
2
x
，0＜x≤1，即x-
2
x
＜a＜x+
1
x
，由x-
2
x
和x+
2
x
，当x∈(0，1]时分别单调递增和递减，即可得出答案；
（2）原不等式化为
x≥a
x2-ax-2＜0
（1）或
x＜a
x2-ax+2＞0
（2），解（1）得：a≤x＜
a+
a2+8
2
；解（2）得：-2
2
＜a＜2
2
时，x＜a；然后讨论即可得出答案．
解答：解：（1）x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．
∵x=0，a∈R
∴|x-a|＜
2
x
，0＜x≤1，
即x-
2
x
＜a＜x+
1
x
，
∵x-
2
x
和x+
2
x
，当x∈(0，1]时分别单调递增和递减，
∴-1＜a＜3．
（2）原不等式化为
x≥a
x2-ax-2＜0
（1）
或
x＜a
x2-ax+2＞0
（2）
解（1）得：a≤x＜
a+
a2+8
2
；
解（2）得：-2
2
＜a＜2
2
时，x＜a；
a=2
2
时，x＜a且x≠a/2；a=-2
2
时，x＜a；a＞2
2
时，
x＜
a-
a2-8
2
或
a+
a2-8
2
＜x＜a；a＜-2
2
时，x＜a．
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综合可知：
当a＜2
2
时，x＜
a+
a2+8
2
；a=2
2
时，x＜2
2
，且x≠
2
；a＞2
2
时，x＜
a-
a2-8
2
或
a+
a2-8
2
＜x＜
a+
a2+8
2
．
点评：本题考查了函数恒成立问题及分段函数，难度较大，关键是要在求解过程中，要比较a与
a-
a2+8
2
及a与
a±
a2-8
2
的大小．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[
1
2
，a]上的值域为[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）当a=1时，求f（x）的解析式；
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（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若f(2x)=
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，求x的值；
（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若f（1）≤1，求a的取值范围；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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