Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，

9

4

]时，f(x)＜c2-

7

6

恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+c．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	(2， 9 4 )	9 4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 23 6 +c	单调递增	5 6 +c	单调递减	2 3 +c	单调递增	45 64 +c

因此当x=1时，f（x）有极大值

5

6

+c．…（6分）
又f(

9

4

)=

45

64

+c＜

5

6

+c，f(-1)=-

23

6

+c＜

5

6

+c，
∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）最大值为f(1)=

5

6

+c．…（7分）
∴c2-

7

6

＞

5

6

+c．∴c＜-1或c＞2．…（8分）
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

恒成立．
由（2）可知，当x=2时，f（x）有极小值

2

3

+c．
又f(-1)=-

23

6

+c＜

2

3

+c，f(1)=

5

6

+c＞-

23

6

+c．
∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）的最小值为-

23

6

+c．…（10分）
∴|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=

14

3

，故结论成立．…（12分）