Question

已知正项等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₃，a₇+2，3a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为Sn，f(n)=

Sn	(n+18)Sn+1

，试问当n为何值时，f（n）最大，并求出f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用a₃，a₇+2，3a₉成等比数列，求出数列的公差，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{a_n}的前n项和为Sn，f(n)=

Sn

(n+18)Sn+1

，化简表达式，利用基本不等式去，求解f（n）最大值，并求出f（n）的最大值．

解答：解：（1）设公差为d，则a₃=1+2d，a₇=1+6d，a₉=1+8d…（2分）
∵a₃，a₇+2，3a₉成等比数列，∴（3+6d）²=3（1+2d）（1+8d）…（3分）
∴2d²-d-1=0，
∵d＞0，∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）•1=n．…（6分）
（2）∵an=n，Sn=

n(1+n)

2

，∴

Sn

Sn+1

=

n

n+2

．…（8分）
∴f(n)=

Sn

(n+18)Sn+1

=

n

(n+18)(n+2)

=

n

n2+20n+36

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

12+20

=

1

32

…（12分）
当且仅当n=

36

n

，即n=6时，f（n）取得最大值

1

32

．…（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，注意数列的通项公式与前n项和的应用，考查数列的函数特征，考查计算能力．