题目内容
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足
，n∈N*．数列{bn}满足
，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式
恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由
，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{an}的通项公式，由
，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{bn}的前n项和Tn；
（2）由（1）中Tn的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．
（3）由（1）中Tn的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1＜m＜n及m，n均为整数，可得答案．
解答：解：（1）在an2=S2n-1中，令n=1，n=2，
得
，即 
（2分）
解得a1=1，d=2，（3分）
∴an=2n-1．
∵
=
=
（ 
-
），
∴Tn=
（1-
+
-
+…+
-
）=
．（5分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n+
+17恒成立．（6分）∵2n+
≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n-
-15恒成立．（8分）
∵2n-
是随n的增大而增大，
∴n=1时，2n-
取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T1=
，Tm=
，Tn=
，
若T1，Tm，Tn成等比数列，则（
）2=
（
），
即
=
．（11分）
由
=
，可得 
=
＞0，
即-2m2+4m+1＞0，（12分）
∴1-
＜m＜1+
．（13分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．（14分）
点评：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力
，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{an}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{bn}的前n项和Tn；（2）由（1）中Tn的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．
（3）由（1）中Tn的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1＜m＜n及m，n均为整数，可得答案．
解答：解：（1）在an2=S2n-1中，令n=1，n=2，
得
，即 （2分）解得a1=1，d=2，（3分）
∴an=2n-1．
∵
==（ - ），∴Tn=
（1-+-+…+- ）=．（5分）（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n--15恒成立．（8分）∵2n-
是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-
取得最小值-6．∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T1=
，Tm=，Tn=，若T1，Tm，Tn成等比数列，则（
）2= （），即
=．（11分）由
=，可得 =＞0，即-2m2+4m+1＞0，（12分）
∴1-
＜m＜1+．（13分）又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．（14分）
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练习册系列答案
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（n∈N*）．
．
（n∈N*）．
．
（n∈N*）．
．