Question

已知定义在R上的奇函数，f（x）当x＞0时，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞

2

e

时，若函数y=f（x）在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质可求f（0）=0，，然后设设x＜0，则-x＞0，代入已知可求f（-x0，结合奇函数f（x）=-f（-x），可求
（2）由f（0）=0，可得除0外还有两正数零点和两负数零点，且关于原点对称，则只要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有两个不等实数根即可．对函数求导，当x＞0时，结合a的符号判断函数的单调性可知，要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有两个不等实数根，则f(

1

a

)＞0，代入可求
另解：当x＞0时，设a=

lnx+1

x

(x＞0)=g(x)，对g（x）求导，从而可判断又g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，且x→0，g（x）→-∞；x→+∞，g（x）→0，g（x）≤1，结合函数的图象可判断a的范围

解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，且定义域为R
则f（0）=0，
设x＜0，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）-ax-1
则f(x)=

lnx-ax+1  x＞0 0              x=0 -ln(-x)-ax-1 x＜0

（2）因为函数是奇函数，f（0）=0，则除0外还有两正数零点和两负数零点，且关于原点对称，
则只要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有两个不等实数根即可．
当x＞0时，f′(x)=

1

x

-a，
①若a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，不合；
②若a＞0时，令f′(x)=

1

x

-a=0得x=

1

a

，
则f（x）在(0，

1

a

)上递增，在(

1

a

，+∞)上递减，
要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有两个不等实数根，
则f(

1

a

)=-lna＞0⇒a∈(0，1)
又因为x→0时，f（x）→-∞，
或f(

1

a+e

)=ln

1

a+e

-

a

a+e

+1＜ln

1

e

+1-

a

a+e

=-

a

a+e

＜0，
且f(

2

a

)=ln

2

a

-2+1=ln

2

a

-1＜lne-1=0(a＞

2

e

)，
则f(

1

a

)f(

1

a+e

)＜0，f(

1

a

)f(

2

a

)＜0，
故当a∈(

2

e

，1)时满足题意．
另解：当x＞0时，
设a=

lnx+1

x

(x＞0)=g(x)，g′(x)=-

lnx

x

=0⇒x=1，
又g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
且x→0，g（x）→-∞；x→+∞，g（x）→0，g（x）≤1，
再作出函数的草图可得，0＜a＜1，又a＞

2

e

，
故当a∈(

2

e

，1)时满足题意．

点评：本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的解析式，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的极值，求解参数的范围，本题有一定的难度