Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知函数f(x)=a-

1

2x+1

为奇函数，则f（1）+f（-1）=0，由此构造关于a的方程，解方程可得答案．
（2）根据（1）可得函数的解析式，结合指数的性质，利用分析法可得函数f（x）的值域

解答：解：（1）f（x）为奇函数，
∴f（1）+f（-1）=0，
得(a-

1

2+1

)+(a-

1

2-1+1

)=0，
∴a=

1

2

，…（3分）
此时，f(x)=

1

2

-

1

2z+1

，
即f(x)=

2x-1

2(2x+1)

，f(-x)=

2-x-1

2(2-x+1)

=

1-2x

2(1+2x)

=-f(x)
即f（x）为奇函数．
∴a=

1

2

．…（6分）
（或f（x）+f（-x）=0，即a-

1

2x+1

+(a-

1

2-x+1

)=0，∴a=

1

2

）
（2）由（1）知f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-1＜-

1

2x+1

＜0，
所以-

1

2

＜f(x)＜

1

2

，
所以f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值域，其中求出函数的解析式是解答的关键．