Question

如图，已知圆O′：（x+2）²+y²=8及点A（2，0），在圆O'上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线O′A′交于点P，若点A′取遍圆O′上的点．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点O′的直线m与曲线C交于M、N两点，且|AM|=|AN|，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用l是线段AA′的中垂线，可得点P的轨迹是双曲线，从而可求轨迹C的方程；        
（Ⅱ）设直线m的方程代入双曲线方程，求出MN中点坐标，利用|AM|=|AN|，可得斜率互为负倒数，从而可得直线的向量，进而可求直线m的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵l是线段AA′的中垂线，∴|PA|=|PA′|，
∴||PA|-|PO′||=||PA′|-|PO′||=|O′A′|=2

2

．
即点P在以O′、A为焦点，以4为焦距，以2

2

为实轴长的双曲线上，
故轨迹C的方程为

x2

2

-

y2

2

=1．          
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线m的方程为y=k（x+2），代入双曲线方程，可得（1-k²）x²-4k²x-2k²-2=0
∴x1+x2=

4k2

1-k2

，∴y1+y2=

4k

1-k2

，
∴MN中点坐标为（

2k2

1-k2

，

2k

1-k2

）
∵|AM|=|AN|，∴

2k 1-k2

2k2 1-k2 -2

×k=-1
∴k2=

1

3

，∴k=±

3

3

∴直线m的方程为y=±

3

3

（x+2）．

点评：本题考查双曲线的定义，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．