Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，已知Sn=

n2+3n

2

，bn=12×32-an．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在一个最小正整数M，当n＞M时，S_n＞Tn恒成立？若存在求出这个M值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知s_n的递推关系式，根据a_n=s_n-s_n-1即可求出数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）把a_n的表达式代入b_n中，证明数列{b_n}是等比数列，根据等比数列的求和公式求出T_n，然后证明当n＞M时，S_n＞Tn恒成立，解答是不是存在M值．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=2
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，
综上，数列{a_n}的通项公式是a_n=n+1（n∈N*）
（II）bn=12×32-(n+1)=36×

1

3n

，
b1=12，

bn+1

bn

=

1

3

，∴数列{bn}是以12为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴Tn=

12[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=18(1-

1

3n

).
由此可知12≤T_n＜18．
而{S_n}是一个递增数列，
且S₁=2，T₁=12，S₂=5，T₂=16，S₃=9，T₃=17

2

3

，S₄=14，T₄=17

80

81

，S5=20.
故存在一个最小正整数M=4，当n＞M时，S_n＞T_n恒成立．

点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是根据a_n=s_n-s_n-1即可求出数列{a_n}的通项公式，还要熟练掌握等比数列的求和公式，数列是高考的常考题，需要同学们熟练掌握．