Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足?x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（　　）

A．[-1，1]

B．（-1，1）

C．[-2，2]

D．（-2，2）

Answer 1

分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，画出函数图象，根据高调函数的定义可知4≥3a²-（-a²），解之即可求出a的取值范围．

解答：解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²=

x-2a2(x≥a2) -x(0≤x＜a2)

，
根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，
∵f（x）为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a²，要满足f（x+4）≥f（x），4大于等于区间长度3a²-（-a²），
∴4≥3a²-（-a²），
∴-1≤a≤1，即实数a的取值范围是[-1，1]．
故选A．

点评：本题主要考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．