题目内容

设u、v是实数，则(u-v)2+(
4-u2
-2v-5)2的最小值为
 
．
分析：从数式的形与构来看与两点间的距离公式的平方同构，可视为两点间的距离的平方即可找到解题入口．
解答：解：(u-v)2+(
4-u2
-2v-5)2可视为点P（u，
4-u2
 ）与点Q（v，2v+5 ）之间的距离的平方，P的轨迹为上半圆x2+y2=4（y≥0），Q的轨迹为曲线C：y=2x+5，
圆心（0，0）到直线y=2x+5的距离为
5
22+12
=
5
，圆的半径为2，
所以(u-v)2+(
4-u2
-2v-5)2的最小值为(
5
-2)2=9-4
5
．
故答案为：9-4
5
．
点评：数式的最值问题，通常可通过对其结构与形式特征进行观察，类比，联想与已知的定理、定义、性质等形式类似，实现转化，构建解题思路．
练习册系列答案
相关题目
设函数F（x）和f（x）都在区间D上有定义，若对D的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的实数p和q，使得不等式f（p）≤
F(u)-F(v)u-v
≤f（q）成立，则称F（x）是f（x）在区间D上的甲函数，f（x）是F（x）在区间D上的乙函数．已知F（x）=x2-3x，x∈R，那么F（x）的乙函数f（x）=
 
．
（1）如果两个实数u＜v，求证：2u＜
v2-u2
v-u
＜2v．
（2）定义  设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤
F(u)-F(v)
u-v
≤f(q)成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数g(x)=
1
2
x
是f(x)=
x
的乙函数．

（1）如果两个实数u＜v，求证：数学公式．
（2）定义　设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式数学公式成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数数学公式是数学公式的乙函数．
（1）如果两个实数u＜v，求证：2u＜
v2-u2
v-u
＜2v．
（2）定义  设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤
F(u)-F(v)
u-v
≤f(q)成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数g(x)=
1
2
x
是f(x)=
x
的乙函数．

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