Question

给定抛物线y²=2x，设A(a，0)(a＞0)，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值.

Answer 1

思路分析：本题考查抛物线几何性质的综合应用.抛物线上某点到定点的距离我们可以根据距离公式设出来，然后根据题给条件求最值.

解：设P(x₀，y₀)(x₀≥0)，则y₀²=2x₀，

∴d=|PA|=

∵a＞0，x₀≥0，

∴当0＜a＜1时，1-a＞0，此时当x₀=0时，d_min==a.

当a≥1时，1-a≤0，此时当x₀=a-1时，d_min=

.    误区警示 虽然d的目标函数f(x₀)是根号下关于x₀的二次函数，但由于x₀和a都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错.