Question

如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝，AC＝BC＝a，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，已知BA1⊥AC1． (1) 求证：BC⊥平面A1ACC1 (2) 求点A1到AB的距离 (3) 求C到平面ABC1的距离

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：∵∠BCA=，分别以CA、CB所在直线为x、y轴，以过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 　　则A(a，0，0)、B(0，a，0)．∵A1D⊥平面ABC，∴AD∥z轴，D(，0，0)． 　　设A1(，0，h)，∴h为斜三棱柱的高． 　　A1D⊥BC，又上BC⊥AC，AC∩A1D=D，∴BC⊥平面AA1C1C．
(2)	∵BA1⊥AC1∴·=0．又=(，－a，h)，=＋=＋ 　　∴=(－，0，h)＋(－a，0，0)=(－a，0，h)．∴·(－a)＋h2=0． 　　∴h=． 　　过A1作A1H⊥AB于H，设=λ，则｜｜为A1到AB的距离． 　　∵=－=－λ=(－，0，a)－λ(－a，a，0)=(λa－，－aλ，a)，=(－a，a．0) 　　又·=0，得－λa2＋－λa2=0，得λ=． 　　∴=(－a，－a，a)，∴｜｜==a．
(3)	方法一：过C作CG⊥平面ABC1于G，则｜｜是C到平面ABC1的距离，且由G、A、B、C1四点都在平面ABC1内，∴存在实数x，y，使=x·＋y·． 　　∴=＋x·＋y·=(a，0，0)＋x·(－a，a，0)＋y·(－a，0，a)． 　　=(a－ax－ay，ax， ay)．又=(－，0，a)，=(－a，a，0)． 　　由CG⊥平面AC1B，则 　　∴ 　　即∴ 　　∴=(a，，a)，∴｜｜=a． 　　方法二：过C作CG⊥平面在ABC1于G交平面A1B1C1于M，设M(m，n，a)． 　　∵C1(－，0，a)，则=(m，n，a)，=(－a，0，a)，=(－a，a，0)． 　　由 　　∴∴＝(a，a，a)． 　　又cos〈，〉= 　∴Rt△CGC1中，｜｜=｜｜·cos〈，〉===a． 　　∴点C到平面ABC1的距离为a． 　　点评：(1)由于A、G、C1、B四点共面，故可由基底、线性表示．(2)求C到平面ABC1的距离可用体积法：=．