题目内容

设F₁、F₂分别为椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1的左、右焦点，c= $数学公式$ ，若直线x= $数学公式$ 上存在点P，使线段PF₁的中垂线过点F₂，则椭圆离心率的取值范围是

A.
（0， $数学公式$ ]
B.
（0， $数学公式$ ]
C.
[ $数学公式$ ，1）
D.
[ $数学公式$ ，1）

D
分析：根据题意，设P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，y），进而可得PF₁的中点Q的坐标，结合题意，线段PF₁的中垂线过点F2，可得y与b、c的关系，又由y²的范围，计算可得答案．
解答：

解：由已知P（ $\text{[math]}$ ，y），所以PF₁的中点Q的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ y ），
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由题意可得， $\text{[math]}$
整理可得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ =0时， $\text{[math]}$ 不存在，
此时F₂为中点， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ a2 c-c=2c?e=3 3．
综上得 $\text{[math]}$ ≤e＜1．
故选D．
点评：本题考查椭圆的性质的应用，要牢记椭圆的有关参数，如a、b、c之间的关系．

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（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点 $数学公式$ 求|PQ|的最大值．