Question

函数f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，x∈（0，1），n∈N^*．记y=f（x）的最小值为a_n，则a₁+a₂+…+a₆=

 

．

Answer 1

分析：当n=1时，f（x）=x+（1-x）=1，求出a₁=1，n≥2时，f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，求导，令导数等于零，分析导数的符号，确定函数的最小值，求出a_n=(

1

2

)n-1，利用等比数列求和公式即可求得结果．

解答：解：n=1时，f（x）=x+（1-x）=1，
∴a₁=1
n≥2时，f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，
f′（x）=nx^n-1-n（1-x）^n-1=n[x^n-1-（1-x）^n-1]=0
解得x=

1

2

，
当x∈（0，

1

2

），f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，

1

2

）上是减函数，
当x∈（

1

2

，1），f′（x）＞0，函数f（x）在区间（

1

2

，1）上是增函数，
∴当x=

1

2

时，函数f（x）的最小值为f（

1

2

）=(

1

2

)n-1，
∴a₁+a₂+…+a₆=1+

1

2

+

1

4

+…+

1

32

=

63

32

故答案为：

63

32

．

点评：本题考查函数的最值和等比数列求和问题，利用导数研究函数的单调性和极值，从而确定函数的最值，是解题的关键，属中档题．