Question

已知⊙O₁和⊙O₂交于点C和D，⊙O₁上的点P处的切线交⊙O₂于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O₂上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=30°，那么⊙O₂的半径为

3

．

Answer 1

分析：根据切割线定理和割线定理，证出EP²=EA•EB，代入题中数据解得EB=4，从而得到AB=3．再在△ABM中利用正弦定理加以计算，即可得出⊙O₂的半径．

解答：解：∵PE切⊙O₁于点P，∴EP²=EC•ED．
∵ED、EB是⊙O₂的两条割线，∴EC•ED=EA•EB．
∴EP²=EA•EB，即2²=1•EB，得EB=4，
因此，△ABM中AB=EB-EA=3，∠AMB=30°，设⊙O₂的半径为R，
由正弦定理，得

AB

sin∠AMB

=2R，即2R=

3

sin30°

=6，解之得R=3．
故答案为：3．

点评：本题给出两圆相交，在已知一条圆的切线长的情况下求另一个圆的半径．着重考查了圆当中的比例线段和正弦定理等知识，属于中档题．