Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e=

3

2

．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意得

c=3 c a = 3 2

，解得a，再结合a²=b²+c²，可求得b²，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆的方程与直线的方程y=kx联立，得（3+12k²）x²-12×3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

F2A

=（x₁-3，y₁），

F2B

=（x₂-3，y₂），依题意，AF₂⊥BF₂，由

F2A

•

F2B

=0即可求得k的值．

解答：解：（1）由题意得

c=3 c a = 3 2

，得a=2

3

．  …（2分）
结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．…（4分）
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．        …（6分）
（2）由

x2 12 + y2 3 =1 y=kx

，得（3+12k²）x²-12×3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=0，x₁x₂=-

36

3+12k2

，…（10分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF₂N为平行四边形，所以AF₂⊥BF₂，…（12分）
因为

F2A

=（x₁-3，y₁），

F2B

=（x₂-3，y₂），
所以

F2A

•

F2B

=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+9=0，
即

-12×3(1+k2)

3+12k2

+9=0，
解得k=±

2

4

．…（15分）

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．