题目内容

（2013•内江一模）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：
（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；
（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（1）由频率和频数的关系可得每组的人数，由分层抽样的特点可得要抽取的人数；
（2）求出总的可能，再求出4组至少有一位志愿者倍抽中的可能，由古典概型的概率公式可得；
（3）可得ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得其分布列，由期望的定义可得答案．
解答：解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.06×5×1000=300，第4组的人数为0.04×5×1000=200，
第5组的人数为0.02×5×1000=100，第3、4、5组共600名志愿者，
故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组
12
600
×300=6，第4组
12
600
×200=4，
第5组
12
600
×100=2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人；
（2）从12名志愿者中抽取3名共有
C
3
12
=220种可能，第4组至少有一位志愿者倍抽中有
C
3
12
-
C
3
8
=164种可能，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P=
164
220
=
41
55
；
（3）ξ的可能取值为：0，1，2，3，且P（ξ=0）=
C
0
6
C
3
6
C
3
12
=
20
220
，P（ξ=1）=
C
1
6
C
2
6
C
3
12
=
90
220
，
P（ξ=2）=
C
2
6
C
1
6
C
3
12
=
90
220
，P（ξ=3）=
C
3
6
C
0
6
C
3
12
=
20
220
，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P  
20
220
  
90
220
  
90
220
  
20
220
∴ξ的期望Eξ=0×
20
220
+1×
90
220
+2×
90
220
+3×
20
220
=1.5
点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及频率分布直方图和期望的求解，属中档题．
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1
2
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（
34
，2）
（
34
，2）
．
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4
5
4
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（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
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1
an
)=1（Sn是数列{an}的前n项和），求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
．

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