Question

已知f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
（1）设f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列．
（2）设f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{b_n}，求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）要证明数列{a_n}为等差数列．我们可以根据二次函数顶点的坐标公式，求出其顶点纵坐标的表达式，再根据判断等差数列的方法进行判断；
（2）由于f（x）的图象的顶点到x轴的距离等于顶点纵坐标的绝对值，结合（1）的结论，我们易得{b_n}从第二项开始是一个等差数列，根据等差数列前n项和公式，易得结论．

解答：（1）证明：∵f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
f（x）的图象的顶点的纵坐标为

4ac-b2

4a

=3n-8
即a_n=3n-8（n∈N^*），
故{a_n}为一个以-5为首项，以3为公差的等差数列
（2）解：由（1）及f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{b_n}，
则b_n=|a_n|=|3n-8|
当n=1或n=2时3n-8＜0，b_n=|3n-8|=8-3n b₁=5 b₂=2
n≥3时3n-8＞0 b_n=|3n-8|=3n-8
Sn=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=5+2+（3×3-8）+（3×4-8）…+（3n-8）
=7+3×（3+4+5+…+n）-8（n-2）
=7+

3(n+3)(n-2)

2

-8（n-2）
=7+

(n-2)(3n+9-16)

2

=7+

(n-2)(3n-7)

2

．
∴S_n=7+

(n-2)(3n-7)

2

．

点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．