Question

【题目】已知函数f（x）=sin（2x+φ）+2sin2x（|φ|＜ ）的图象过点（ ， ）．
（1）求函数f（x）在[0， ]的最小值；
（2）设角C为锐角，△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若x=C是曲线y=f（x）的一条对称轴，且△ABC的面积为2 ，a+b=6，求边c的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=sin（2x+φ）+2sin2x，

∵图象过点（ ， ）．

∴ =sin（2× +φ）+2sin2 ，

得：sin（ +φ）=1，

∴ +φ= ，k∈Z，

∵|φ|＜ ，

∴φ= ．

∴函数f（x）=sin（2x+ ）+2sin2x= sin2x+ cos2x+1﹣cos2x=sin（2x﹣ ）+1．

∵x∈[0， ]，

∴2x﹣ ∈[ ， ]．

∴当2x﹣ = 时，f（x）取得最小值为

（2）解：由（1）可得f（x）=sin（2x﹣ ）+1．

其对称轴方程为：2x﹣ = ，k∈Z，

∵x=C是曲线y=f（x）的一条对称轴，即2C﹣ = ，C为锐角，k∈Z，

∴C= ．

又∵△ABC的面积为2 = absinC，

可得ab=8，a+b=6．

由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，得：c2=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC=12

∴c=2

【解析】（1）图象过点（ ， ）．求出φ，利用二倍角、和与差和辅助角公式化简f（x），将内层函数作为整体，求出范围，即可得f（x）在[0， ]的最小值；（2）求出f（x）的对称轴，可得出C（注意C为锐角），根据△ABC的面积为2 ，a+b=6，利用余弦定理求出

边c的长．