题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+2），数列{b_n}的前n项和为T_n，且有 $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n；
（2）设 $数学公式$ ，试判断数列{c_n}的单调性，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，设M_n是数列{c_n}的前n项和，证明： $数学公式$ ．

（1）解：∵S_n=n（n+2），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式
∴a_n=2n+1
∵ $\text{[math]}$
∴T_n+1-T_n=2b_n-1
∴b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
∴{b_n-1}是公比为2的等比数列
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）解： $\text{[math]}$ ，数列{c_n}为递减数列
证明：∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴数列{c_n}为递减数列
（3）证明：∵ $\text{[math]}$
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n≥ $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ ②
①-②： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可求数列{a_n}的通项a_n，根据 $\text{[math]}$ ，可得b_n+1=2b_n-1，从而{b_n-1}是公比为2的等比数列，故可求数列{b_n}的通项b_n；
（2） $\text{[math]}$ ，数列{c_n}为递减数列，再用作差法证明即可；
（3）根据 $\text{[math]}$ ，可得M_n=c₁+c₂+…+c_n≥ $\text{[math]}$ ，利用错位相消法，求出右边的和，即可证得结论．
点评：本题以数列的和为载体，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查不等式的证明，同时考查错位相减法求数列的和，综合性强．