题目内容

已知点P为抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为 $数学公式$ ，则|PA|+|PM|的最小值是________．

$\text{[math]}$
分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点，由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，故|PM|+|PA|
=|PF|+|PA|- $\text{[math]}$ ，由|PF|+|PA|≥|FA|可得所求的最小值为|FA|- $\text{[math]}$ ．利用两点间的距离公式求得|FA|，即可得到|最小值|FA|- $\text{[math]}$ 的值．
解答：解：依题意可知焦点F（ $\text{[math]}$ ，0），准线 x=- $\text{[math]}$ ，延长PM交准线于H点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，
∴|PM|=|PH|- $\text{[math]}$ =|PF|- $\text{[math]}$ ．
∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|- $\text{[math]}$ ，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，
当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5．
则所求为|PM|+|PA|=5- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了抛物线的定义和简单性质，考查了考生分析问题的能力，数形结合的思想的运用．