Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=-

3

(1-tanA•tanB)，求角A的正弦值．

Answer 1

分析：根据两角和的正切公式与诱导公式，结合题意算出C=60°．根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子解出c=

7

2

，再由正弦定理加以计算即可得出角A的正弦值．

解答：解：∵tanA+tanB=-

3

(1-tanA•tanB)，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3

结合C为三角形的内角，可得C=60°．
∵a=4，b+c=5，得b=5-c
∴由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=4²+（5-c）²-2×4（5-c）cos60°，解之得c=

7

2

由正弦定理，得sinA=

asinC

c

=

4sin60°

7 2

=

4 3

7

．

点评：本题给出三角形的角满足的等式，在已知边长的情况下求sinA，着重考查了诱导公式、两角和的正切公式和正余弦定理等知识，属于中档题．