Question

已知 ，求函数f（x）=（log₂x-1）•log₂的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：首先利用对数运算性质能够得出log₂=log₂x-3，然后函数f（x）变成f（x）=log₂²x-4log₂x+3，令 t=log₂x，f（x）=t²-4t+3，再由对数运算性质能够得出≤t≤3，根据二次函数的特点求出最值．
解答：解：log₂=log₂x-3log₂2=log₂x-3
∴f（x）=（log₂x-1）•log₂=（log₂x-3）（log₂x-1）=log₂²x-4log₂x+3
令 t=log₂x，则f（x）=t²-4t+3，是一个开口向上，对称轴为t=2的抛物线．
∵，∴≤log₂x≤3
∴≤t≤3
变成了在固定区间内求抛物线极值的问题．
由于f（x）开口向上，对称轴为t=2．
∴其最小值在t=2，代入，得f（x）=-1；最大值在t=3，代入，得f（x）=0．
点评：本题考查了对数的运算性质以及值域，令 t=log₂x，得出f（x）=t²-4t+3，是解题的关键，属于基础题．