Question

已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若bc=2，求边长a的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理与三角恒等变换公式化简题中的等式，可得

1

2

sinC=cosAsinC，结合△ABC中sinC＞0算出cosA=

1

2

，从而可得角A的大小；
（2）根据基本不等式可得b²+c²≥2bc=4，由余弦定理算出a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2，从而得出a²≥2，由此可得当且仅当b=c时，边a的最小值为

2

．

解答：解：（1）∵acosC+

1

2

c=b，∴由正弦定理，得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
∵在△ABC中，A+C=π-B，∴sinB=sin（π-B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC，可得

1

2

sinC=cosAsinC，
又∵在△ABC中，sinC＞0，
∴等式两边约去sinC，可得cosA=

1

2

，结合A∈（0，π）可得A=

π

3

；
（2）∵在△ABC中，A=

π

3

，bc=2，
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2×2×cos

π

3

=b²+c²-2，
又∵b²+c²≥2bc，即b²+c²≥4，
∴a²=b²+c²-2≥4-2=2，当且仅当b=c时等号成立．
因此，当b=c=

2

时，a²的最小值为2，可得边a的最小值为

2

．

点评：本题已知△ABC的边角关系，求角A的大小并在bc=2的情况下求边a的最小值．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和基本不等式等知识，属于中档题．