Question

已知函数f（x）=2x-π，g（x）=cosx．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），若x1，  x2∈[-

π

2

+kπ，  

π

2

+kπ]， k∈Z，试比较

h(x1)+h(x2)

2

与h(

x1+x2

2

)的大小关系；
（Ⅱ）若x1∈[

π

4

，  

3

4

π]且f（x_n+1）=g（x_n）．求证：|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+…+|xn-

π

2

|＜

π

2

．

Answer 1

分析：（I）h（x）=2x-π-cosx，令?(x)=cos

x+x2

2

-

cosx+cosx2

2

，x∈[-

π

2

+kπ，

π

2

+kπ]k∈z．然后利用导数研究函数的最小值，讨论k的奇偶，即可得到

h(x1)+h(x2)

2

与h(

x1+x2

2

)的大小关系；
（II）由条件知：2x_n+1-π=cosx_n，则x∈R时恒有|x|≥|sinx|，从而得到|x1-

π

2

|+…|xn-

π

2

|≤

π

4

+

π

4

•

1

2

+…+

π

4

•(

1

2

)n-1，然后利用等比数列求和公式进行求和即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）h（x）=2x-π-cosx．∴

h(x1)+h(x2)

2

-h(

x1+x2

2

)
=cos

x1+x2

2

-

cosx1+cosx2

2

．（2分）
令?(x)=cos

x+x2

2

-

cosx+cosx2

2

，x∈[-

π

2

+kπ，

π

2

+kπ]k∈z．
则?′(x)=

sinx

2

-

1

2

sin

x+x2

2

=

1

2

[sinx-sin

x+x2

2

]．
又x，

x+x2

2

∈[-

π

2

+kπ，

π

2

+kπ]．
∴当k为偶数时，x∈[-

π

2

+kπ，x2)时，?'（x）＜0．
x∈(x2，

π

2

+kπ)时，?'（x）＞0．（5分）
∴?（x）＞?（x₂）=0．∴从而

h(x1)+h(x2)

2

＞h(

x1+x2

2

)．（6分）
同理可得当k为奇数时，

h(x1)+h(x2)

2

＜h(

x1+x2

2

)．
∴当k为偶数时，

h(x1)+h(x2)

2

＞h(

x1+x2

2

)，
当k为奇数时，

h(x1)+h(x2)

2

＜h(

x1+x2

2

)．（7分）
（Ⅱ）由条件知：2x_n+1-π=cosx_n．
当|x|≥

π

2

时，|x|≥1≥|sinx|，当|x|≤

π

2

时，|x|≥|sinx|，∴x∈R时恒有|x|≥|sinx|．（9分）
故|xn+1-

π

2

|=

1

2

|cosxn|=

1

2

|sin(xn-

π

2

)|≤

1

2

|xn-

π

2

|≤(

1

2

)2|xn-1-

π

2

|≤…≤(

1

2

)n|x1-

π

2

|．
又x1∈[

π

4

，

3π

4

]，∴|x1-

π

2

|≤

π

4

．∴|x1-

π

2

|+…|xn-

π

2

|≤

π

4

+

π

4

•

1

2

+…+

π

4

•(

1

2

)n-1
=

π

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

π

2

[1-(

1

2

)n]＜

π

2

．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数证明不等式，以及数列与不等式的综合，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．