Question

（文科）已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且a_n+1=2S_n+2ⁿ-1（n?N^*）
（1）设b_n=a_n+2ⁿ（n?N^*），证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设 Cn=

2n

(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)

（n∈N^*），求T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=2S_n+2ⁿ⁺¹-1（n≥1），
当n≥2时，a_n=2S_n-1+2ⁿ-1，两式相减得a_n+1=3a_n+2ⁿ（n≥2）．
从而b_n+1=a_n+1+2ⁿ⁺¹=3a_n+2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）=3b_n（n≥2）．
∵S₂=3S₁+2²-1，即a₁+a₂=3a₁+3，∴a₂=2a₁+3=5，
∴b₂≠0，b_n≠0，
∴

b2

b1

=

a2+4

a1+2

=

9

3

=3．故

bn+1

bn

=3（n=1，2，3…）
∴数列{b_n}是公比为3，首项为3的等比数列．
（2）由（1）知，b_n=3•3^n-1=3ⁿ，b_n=a_n+2ⁿ得a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴cn=

2n

(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)

=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

，
则cn=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

=

1

1+2n

-

1

1+2n+1

．
∴c1+c2+…+cn=

1

1+21

-

1

1+22

+

1

1+22

-

1

1+23

+…+

1

1+2n

-

1

1+2n+1

=

1

3

-

1

1+2n+1

．