Question

设p为椭圆等

x2

m

+

y2

24

=1（m≥32）上的一点，F₁，F₂是该椭圆的两个焦点，若cos∠F₁PF₂=

5

13

则△PF₁F₂的面积是（　　）

A．48

B．16

C．32

D．与m有关的值

Answer 1

分析：由题意椭圆焦点在x轴上，可得2a=2

m

且c²=m+24．△F₁PF₂中利用余弦定理，结合题中的数据算出F₁P•PF₂=

104

3

，由同角三角函数的平方关系算出sin∠F₁PF₂=

12

13

，最后用正弦定理的面积公式即可算出△PF₁F₂的面积．

解答：解：∵m≥32，可得椭圆的焦点在x轴上
∴长轴2a=2

m

，c²=m+24
∵△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

5

13

∴|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2F₁P•PF₂cos∠F₁PF₂，
即4c²=（|F₁P|+|PF₂|）²-2F₁P•PF₂（1+cos∠F₁PF₂）
可得4c²=4a²-2F₁P•PF₂（1+

5

13

），得

18

13

F₁P•PF₂=2a²-2c²=2b²=48
∴F₁P•PF₂=

104

3

∵sin∠F₁PF₂=

1-( 5 13 )2

=

12

13

∴由正弦定理，得△PF₁F₂的面积为
S_△ PF1F2=

1

2

F₁P•PF₂sin∠F₁PF₂=

1

2

×

104

3

×

12

13

=16
故选：B

点评：本题给出短轴已知的椭圆方程，求椭圆上满足∠F₁PF₂为定值的焦点三角形的面积，着重考查了椭圆的定义与标准方程、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．