Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA₁与CC₁的中点，求四棱锥的A₁-EBFD₁的体积．

Answer 1

分析：法一：判断四棱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形，连接A₁C₁、EF、BD₁，说明A₁C₁到底面EBFD₁的距离就是A₁-EBFD₁的高，求出底面S菱形EBFD1，高的大小，即可得到棱锥的体积．
法二：三棱锥A₁-EFB与三棱锥A₁-EFD₁等底同高，棱锥VA1-EBFD1转化为2•

1

3

•S△EBA1•a，求解即可．

解答：解：法一：∵EB=BF=FD₁=D₁E=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
∴四棱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形．（2分）
连接A₁C₁、EF、BD₁，则A₁C₁∥EF．
根据直线和平面平行的判定定理，A₁C₁平行于A₁-EBFD₁的底面，
从而A₁C₁到底面EBFD₁的距离就是A₁-EBFD₁的高（4分）
设G、H分别是A₁C₁、EF的中点，连接D₁G、GH，则FH⊥HG，FH⊥HD₁
根据直线和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD₁，
又，四棱锥A₁-EBFD₁的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，
有A₁-EBFD₁的底面⊥平面HGD₁．作GK⊥HD₁于K，
根据两平面垂直的性质定理，有GK垂直于A₁-EBFD₁的底面．（6分）
∵正方体的对角面AA₁CC₁垂直于底面A₁B₁C₁D₁，∴∠HGD₁=90°．
在Rt△HGD₁内，GD₁=

2

2

a，HG=

1

2

a，HD₁=

BD1

2

=

3

2

a．
∴

3

2

a•GK=

1

2

a•

2

2

a，从而GK=

6

6

a．（8分）
∴VA1-EBFD1=

1

3

S菱形EBFD1•GK=

1

3

•

1

2

•EF•BD₁•GK
=

1

6

•

2

a•

3

a•

6

6

a=

1

6

a³（10分）
解法二∵EB=BF=FD₁=D₁E=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
∴四棱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形．（2分）
连接EF，则△EFB≌△EFD₁．
∵三棱锥A₁-EFB与三棱锥A₁-EFD₁等底同高，
∴VA1-EFB=VA1-EFD1．
∴VA1-EBFD1=2VA1-EFB．（4分）
又VA1-EFB=VF-EBA1，
∴VA1-EBFD1=2VF-EBA1，（6分）
∵CC₁∥平面ABB₁A₁，
∴三棱锥F-EBA₁的高就是CC₁到
平面ABB₁A₁的距离，即棱长a．（8分）
又△EBA₁边EA₁上的高为a．
∴VA1-EBFD1=2•

1

3

•S△EBA1•a=

1

6

a³．（10分）

点评：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力．