Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0，
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ），
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴，
解得a=1；
（Ⅱ），
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0，
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得，
由f′（x）＜0，解得，
∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为；
（Ⅲ）当a≥2时，由（Ⅱ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜2时，由（Ⅱ）②知，
f（x）在处取得最小值；
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是。