Question

已知关于x的不等式

ax-5

x2-a

＜0的解集是M．
（1）当a=1时，求集合M．
（2）当3∈M且5∉M时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，不等式即

x-5

(x+1)(x-1)

＜0，用穿根法求得x的范围，可得集合M．
（2）当3∈M且5∉M时，有

3a-5

9-a

＜0 ①，且

5a-5

25-a

≥0 ②．分别求得①和②的解集，再把①②的解集取交集，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，不等式即

x-5

(x+1)(x-1)

＜0，用穿根法求得 x＜-1，或1＜x＜5，
故集合M={x|x＜-1，或1＜x＜5 }．
（2）当3∈M且5∉M时，有

3a-5

9-a

＜0 ①，且 

5a-5

25-a

≥0 ②．
由①求得 a＜

5

3

，或a＞9；解②可得 1≤a＜25．
再把①②的解集取交集可得1≤a＜

5

3

，或 9＜a＜25．
故所求的实数a的取值范围为[1，

5

3

）∪（9，25）．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．