题目内容

已知f(
1
x
)=
1
x+1
，那么f（x）的解析式为
 
．
分析：函数f(
1
x
)=
1
x+1
对定义域内任何变量恒成立，故可以用x代
1
x
即可求出f（x）解析式．
解答：解：由f(
1
x
)=
1
x+1
可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠-1}，

取x=
1
x
，代入上式得：f（x）=
1
1
x
+1
=
x
x+1
，
故答案为：
x
1+x
．
点评：本题属于求解函数的表达式问题，使用的是构造法．即在定义域范围内以x代
1
x
从而解决问题．另外，求解函数解析式的常用方法还有待定系数法．
练习册系列答案
相关题目
有下列几个命题：
①函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+
3x
)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-
3x
)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是
 
．（写出全部正确结论的序号）
已知f(
1
x
)=
1
x+1
，则f（2）=
2
3
2
3
．
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(
(a+1)x-1x+1
)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求实数a的取值范围．
已知f(
1
x
)=
1
x+1
，则f（2）=______．

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