题目内容
方程（x2006+1）（1+x2+x4+…+x2004）=2006x2005的实数解的个数为 ．
【答案】分析：将方程等价变形，利用基本不等式，结合等号成立的条件，即可求得结论．
解答：解：（x2006+1）（1+x2+x4+…+x2004）=2006x2005，等价于（x+
）（1+x2+x4+…+x2004）=2006
等价于x+x3+x5+…+x2005+
+
+
+…+
=2006，故x＞0，否则左边＜0．
所以2006=x+
+x3+
+…+x2005+
≥2×1003=2006．
等号当且仅当x=1时成立．
所以x=1是原方程的全部解．
因此原方程的实数解个数为1
故答案为1．
点评：本题考查函数与方程思想，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
解答：解：（x2006+1）（1+x2+x4+…+x2004）=2006x2005，等价于（x+
）（1+x2+x4+…+x2004）=2006等价于x+x3+x5+…+x2005+
+++…+=2006，故x＞0，否则左边＜0．所以2006=x+
+x3++…+x2005+≥2×1003=2006．等号当且仅当x=1时成立．
所以x=1是原方程的全部解．
因此原方程的实数解个数为1
故答案为1．
点评：本题考查函数与方程思想，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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