题目内容

设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
分析：当a=0时，由f（x）≥h（x），得x2-mlnx≥x2-x，分离出参数m后构造函数转化为求函数最值，利用导数可求得函数最值．
解答：解：当a=0时，h（x）=x2-x，则f（x）≥h（x），即x2-mlnx≥x2-x，化简得mlnx≤x，
∵x＞1，∴lnx＞0，
∴m≤
x
lnx
恒成立，该不等式等价于m≤(
x
lnx
)min，
令u(x)=
x
lnx
，u′(x)=
lnx-1
(lnx)2
，
由u'（x）＞0，得 x＞e，由u'（x）＜0，得0＜x＜e，
∴u（x）在（e、+∞）上递增，在（0，e）上递减，
∴u（x）min=u（e）=e，
∴m≤e．
点评：本题考查函数恒成立问题、应用导数求函数的最值问题，考查转化思想，对恒成立问题往往转化为函数最值或分离出参数后求函数最值解决．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值．
设函数f（x）=x2-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是
 
．
设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=
1x+1
）．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求f（x2）的取值范围．
设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，求实数m的值；
（2）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
（n∈N*）恒成立．

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