Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对?n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（I）设公差为d，由已知得：

S4=14 a32=a1a7

，
即

4a1+ 4×3 2 d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得：d=1或d=0（舍去），
∴a₁=2，
故a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵T_n≤λa_n+1对?n∈N^*恒成立，即

n

2(n+2)

≤λ（n+2），λ≥

n

2(n+2)2

?n∈N^*恒成立，
又

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2(4+4)

=

1

16

，
∴λ的最小值为

1

16

．