Question

【题目】已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.

（1）求椭圆长半轴长；

（2）求最大值；

（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；

（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；

（3）根据对称性设，，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.

（1）因为椭圆过点，所以，

因为离心率为，所以，

而，所以，

所以求椭圆长半轴长为；

（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，

过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，

可知当为长轴时候最长，

此时.

（3）由对称性可知、两点关于原点对称，

所以设，则，

不妨假设，

则直线的方程为，

令，得到，

所以，

同理，

所以，

所以

而在椭圆上，所以，即，

所以.

所以的面积与的面积的乘积为定值.