Question

在△ABC中，tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，2sinBcosC=sinA，求A，B．

Answer 1

分析：首先将tan

A+B

2

+tan

C

2

=4中的tan

A+B

2

根据A+B+C=π写成tan

π-C

2

，然后化简得出sinC=

1

2

，就可以求出角C的大小；由2sinBcosC=sinA得出sin（B-C）=0，即可求出角B，最后依据A=π-（B+C）求出角A．

解答：解：∵tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，A+B+C=π，
∴tan

π-C

2

+tan

C

2

=4
∴

cos C 2

sin C 2

+

sin C 2

cos C 2

=4
∴

1

sin C 2 cos C 2

=4
∴sinC=

1

2

，
∵C∈（0，π）
∴C=

π

6

或C=

5π

6

∵2sinBcosC=sinA
∴2sinBcosC=sin（B+C）
即sin（B-C）=0
∴B=C=

π

6

∴A=π-（B+C）=

2π

3

．

点评：此题考查了三角函数的化简求值，灵活运用在三角形中A+B+C=π的转化是解题的关键，属于中档题．