题目内容

如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点，E为B1C的中点,

(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值.

(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，请说明?理由.

 

解析：(1)以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.?

∵AC=2a,∠ABC=90°,

∴AB=BC=a.

∴B(0,0,0),C(0, a,0),A(a,0,0),A1(a,0,3a),C1(0, a,3a),B1(0,0,3a).

∴D(a, a,3a),E(0,a,a).?

∴=(a,-a,3a),=(0,a,a).

∴||=a,||=a.

∴·=0-a2+a2=a2.?

∴cosθ==.

(2)假设存在点F，要使⊥平面B1DF，只要⊥且⊥.

不妨设AF=b,则F(a,0,b),=(a,-a,b), =(a,0,b-3a), =(a,a,0).

∵·=a2-a2=0,?

∴⊥恒成立.?

·=2a2+b(b-3a)=0b=a或b=2a,故当||=a或2a时，⊥平面B1DF.


练习册系列答案
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精英家教网如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．
（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．
如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，则
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．
如图所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分别是A'B'、A'A的中点．
（1）求证：A'B⊥C'M；
（2）求异面直线BA'与CB'所成交的大小；
（3）（理）求BN与平面CNB'所称的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．
如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,点D是AB的中点.

（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱锥B1—A1BC的体积；

（4）求BC1与平面A1BC所成角的正弦值.
如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=a.

(1)求证:AB1∥平面BC1D;

(2)求异面直线AB1与BC1所成的角;

(3)求点A到平面BC1D的距离.

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