Question

已知函数f（x）=log_m

1+x

x-1

（其中m＞0且m≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）当0＜m＜1时，判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

（1）∵f（x）=log_m

1+x

x-1

，
∴

1+x

x-1

＞0，
解得-1＜x＜1；
∴函数f（x）的定义域是（-1，1）；
又f（-x）=log_m

1-x

-x-1

=log_m

x-1

x+1

=log_m(

1+x

x-1

)-1
=-log_m

1+x

x-1

=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（2）当0＜m＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
证明如下：设任意的1＜x₁＜x₂，
∵f（x）=log_m

1+x

x-1

=log_m

x-1+2

x-1

=log_m（1+

2

x-1

），
∴0＜x₁-1＜x₂-1，
∴

1

x1-1

＞

1

x2-1

＞0，
∴1+

2

x1-1

＞1+

2

x2-1

＞1；
又∵0＜m＜1，
∴log_m（1+

2

x1-1

）＜log_m（1+

2

x2-1

），
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．