Question

已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=C，则称常数C是函数f（x）在D上的“翔宇一品数”．若已知函数f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]，则f（x）在[1，3]上的“翔宇一品数”是

1

4

．

Answer 1

分析：根据已知中函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=C，则称常数C是函数f（x）在D上的“翔宇一品数”．根据函数f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]，为单调减函数，可得f（x）在[1，3]上的“翔宇一品数”是其最大值和最小值的几何平均数．

解答：解：由已知中翔宇一品数的定义可得C即为函数y=f（x），x∈D最大值与最小值的几何平均数
又∵函数f(x)=(

1

2

)x，x∈[1，3]为减函数
故其最大值M=

1

2

，最小值m=(

1

2

)3
故C=

1 2 •( 1 2 )3

=

1

4

故答案为

1

4

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据已知判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．