Question

【题目】设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为0．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

（1）利用的最小值为0，可得，，即可求椭圆的方程；

（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．

（1）设，则，，

，，

由题意得，，

椭圆的方程为；

（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，

得．

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，

化简得：．

设，，

当时，设直线的倾斜角为，

则，

，

，

，

∴当时，，，

．

当时，四边形是矩形，．

所以四边形面积的最大值为2．