Question

已知函数f（x）=2e^x-x
（1）求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上的最小值；
（2）求证：对m＞ln

1

2

，x＞ln2时，恒有2ex-

1

2

x2-2＞(1+ln2)x．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与定义域的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值．
（2）将不等式变形，构造新函数g（x），求出g（x）的导函数，通过判断导函数的符号判断出其单调性，进一步求出其最小值，得证．

解答：解（1）当f'（x）=2e^x-1=0，
解得x=ln

1

2

当m≤ln

1

2

时，f'（x）＜0，f（x）在[-1，m]上单调减，
则f（x）的最小值为f（m）=2e^m-m
当m＞ln

1

2

时，(-1，ln

1

2

)上递减，(ln

1

2

，+∞)上递增，
则f（x）的最小值为f(ln

1

2

)=1-ln

1

2

（2）g(x)=2ex-

1

2

x2-2-(1+ln2)x
g′（x）=2e^x-x-1-ln2=f（x）-1-ln2
由（1）知当m＞ln

1

2

时，f（x）的最小值为f(ln

1

2

)=1-ln

1

2

=1+ln2，
所以当x＞ln2时g′（x）＞0，g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
所以g(x)＞g(ln2)=2-

3

2

(ln2)2-ln2＞0
所以2ex-

1

2

x2-2＞(1+ln2)x

点评：求函数在区间上的最值，常利用导函数判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值；证明不等式问题常通过构造新函数，转化为求函数的最值问题．