Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆半径的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）设的内切圆的半径为，

易得的周长为，所以，因此最大，就最大. 把分解为和,从而得到，整理方程组， 求出两根和与两根既即得到面积与的函数关系，通过换元，利用均值不等式即可求得的最大值，此时.

试题解析：（1）由题意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）设，设的内切圆的半径为，

因为的周长为，，

因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

，

由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又因直线与椭圆交于不同的两点，

故，即，则

．．．．．．．．．．．．10分

令，则，

．

令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，

即当时，在上单调递增，

因此有，所以，

即当时，最大，此时，

故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为．．．．．．．．．．．12分