Question

在△ABC中，sinA+cosA=

2

，sinB-cosB=

6

2

，BC=2．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的第一个等式左右两边平方，左边利用完全平方公式展开后，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，可得出sin2A的值，同时根据等式判断得出A为锐角，可得出2A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再把第二个等式左边提取

2

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得出sin（B-45°）的值，由A的范围得出B的范围，进而求出B-45°的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数；
（Ⅱ）由C和A的度数，求出sinC和sinA的值，再由BC的长，利用正弦定理求出AB的长，再把B的度数分为两个特殊角45°+60°，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sinB的值，由sinB，AB及BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）由sinA+cosA=

2

平方得：
sin²A+cos²A+2sinAcosA=1+sin2A=2，即sin2A=1，
又sinA+cosA=

2

＞1，∴cosA＞0，即0＜A＜90°，
∴0＜2A＜180°，
∴2A=90°，A=45°，…（2分）
由sinB-cosB=

2

sin（B-45°）=

6

2

得：sin（B-45°）=

3

2

，
由A=45°，可得0＜B＜135°，
∴-45°＜B-45°＜90°，
∴B-45°=60°，解得：B=105°，…（4分）
∴C=180°-（45°+105°）=30°；   …（5分）
（Ⅱ）∵sinC=sin30°=

1

2

，sinA=sin45°=

2

2

，BC=2，
∴由

AB

sinC

=

BC

sinA

得：AB=BC•

sinC

sinA

=

2

，…（7分）
又sinB=sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
=

2 (1+ 3 )

4

，…（9分）
则△ABC的面积S=

1

2

BA•BC•sinB=

1

2

×

2

×2×

2 (1+ 3 )

4

=

1+ 3

2

．…（10分）

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．