Question

已知定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=,且对于任意实数x,y,总有f(x) f(y)=f(x+y) +f(x-y)成立.

(1)求f(0)的值,并证明函数f(x)为偶函数;

(2)定义数列{a_n}:a_n=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,…),求证:{a_n}为等比数列;

(3)若对于任意的非零实数y,总有f(y)＞2.设有理数x₁,x₂满足:|x₁|＜|x₂|,判断f(x₁)和f(x₂)的大小关系,并证明你的结论.

Answer 1

(1)解:令x=1,y=0,∴f(1)f(0)=f(1)+f(1).∵f(1)=,∴f(0)=2.

令x=0,∴f(0)f(y)=f(y)+f(-y),即2f(y)=f(y)+f(-y).

∴f(y)=f(-y),对任意实数y总成立.

∴f(x)为偶函数.

(2)证明:令x=y=1,得f(1)f(1)=f(2)+f(0).

∴=f(2)+2.∴f(2)=.

∴a₁=2f(2)-f(1)==6.

令x=n+1,y=1,得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).

∴f(n+2)=f(n+1)-f(n).

∴a_n+1=2f(n+2)-f(n+1)

=2［f(n+1)-f(n)］-f(n+1)

=4f(n+1)-2f(n)

=2［2f(n+1)-f(n)］

=2a_n(n≥1).

∴{a_n}是以6为首项,以2为公比的等比数列.

(3)解:结论:f(x₁)＜f(x₂).

证明:设y≠0,

∵y≠0时,f(y)＞2,

∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)＞2f(x),即f(x+y)-f(x)＞f(x)-f(x-y).

∴对于k∈N,总有f［(k+1)y］-f(ky)＞f(ky)-f［(k-1)y］成立.

∴f［(k+1)y］-f(ky)＞f(ky)-f［(k-1)y］＞f［(k-1)y］-f［(k-2)y］

＞…＞f(y)-f(0)＞0.

∴对于k∈N总有f［(k+1)y］＞f(ky)成立.

∴对于m,n∈N,若n＜m,则有f(ny)＜…＜f(my)成立.

∵x₁,x₂∈Q,∴可设|x₁|=,

|x₂|=,其中q₁,q₂是非负整数,p₁,p₂都是正整数,

则|x₁|=,|x₂|=.

令y=,t=q₁p₂,s=p₁q₂,则t,s∈N.

∵|x₁|＜|x₂|,∴t＜s.

∴f(ty)＜f(sy),即f(|x₁|)＜f(|x₂|).

∵函数f(x)为偶函数,

∴f(|x₁|)=f(x₁),f(|x₂|)=f(x₂).

∴f(x₁)＜f(x₂).