Question

设圆C的圆心与双曲线

x2

a2

-y²=1（a＞0）的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线x-

3

y=0被圆C截得的弦长等于1，则a的值为（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线x-

3

y=0被圆C截得的弦长等于1，根据勾股定理，确定等量关系，即可求出a．

解答：解：设圆心坐标为（

a2+1

，0），
∵双曲线方程为

x2

a2

-y²=1（a＞0），所以双曲线的渐近线y=

x

a

，即x-ay=0．
∵圆与双曲线的渐近线相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，即得r=

a2+1

a2+1

=1，
又∵圆C被直线l：x-

3

y=0截得的弦长等于1，
∴圆心到直线l：x-

3

y=0的距离d=

1- 1 4

=

a2+1

1+3

∴a²=2
又a＞0，∴a=

2

故选A．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．